Question

【题目】【2017重庆二诊】已知函数，．

（1）分别求函数与在区间上的极值；

（2）求证：对任意， ．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）在上有极小值，无极大值； 在上有极大值，无极小值；（Ⅱ）见解析．

【解析】（Ⅰ）由题意，利用导数进行求解，首先求出函数极值点，再判断极值点两侧的单调性，从而得出是否为极大值点，还是极小值点，问题即可得解；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，可将分为和两段进行证明，在区间上可比较两个函数的极小值与极大值即，在区间上可考虑将两函数作差构造新函数，再通过判断新函数的单调性和最值，从而问题可得证．

试题解析：（Ⅰ） ， ，

故在和上递减，在上递增，

在上有极小值，无极大值； ， ，

故在上递增，在上递减，

在上有极大值，无极小值；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，当时， ， ，故；

当时， ，令，则，

故在上递增，在上递减， ， ；

综上，对任意， ．