Question

【题目】已知椭圆过圆的圆心，且右焦点与抛物线的焦点重合.

（1）求椭圆的方程;

（2）过点作直线交椭圆于，两点，若，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）

（2）或

【解析】

(1)根据焦点与椭圆上的点,列方程求解即可.

(2)根据三角形的面积公式化简可得,再利用向量的方法可得,再分直线有无斜率的情况,联立直线与椭圆的方程,利用韦达定理代入化简向量的关系求得斜率即可.

解：（1）因为抛物线的焦点为,所以,

因为在椭圆上,所以,由,得,所以椭圆的方程为

（2）由得：,即,可得,

①当垂直轴时,,此时满足题意,所以此时直线的方程为;

②当不垂直轴时,设,直线的方程为,

由消去得,

所以,

代入可得：,

代入,得,

代入化简得：,

解得,

经检验满足题意,则直线的方程为

综上所述直线的方程为或