题目内容

已知向量
a
=(1+sin2x，sinx-cosx)，
b
=(1，sinx+cosx)，函数f(x)=
a
•
b
．
（1）求f（x）的最大值及相应的x的值；
（2）若f(θ)=
8
5
，求cos2(
π
4
-2θ)的值．
（1）因为
a
=(1+sin2x，sinx-cosx)，
b
=(1，sinx+cosx)，
所以f（x）=1+sin2x+sin2x-cos2x=1+sin2x-cos2x=
2
sin(2x-
π
4
)+1
因此，当2x-
π
4
=2kπ+
π
2
，即x=kπ+
3
8
π（k∈Z）时，f（x）取得最大值
2
+1；

（2）由f（θ）=1+sin2θ-cos2θ及f(θ)=
8
5
得sin2θ-cos2θ=
3
5
，
两边平方得1-sin4θ=
9
25
，即sin4θ=
16
25
．
因此，cos2(
π
4
-2θ)=cos(
π
2
-4θ)=sin4θ=
16
25
．
练习册系列答案
相关题目
在平面直角坐标系中，已知向量
a
=(x，y-4)，
b
=(kx，y+4)（k∈R），
a
⊥
b
，动点M（x，y）的轨迹为T．
（1）求轨迹T的方程，并说明该方程表示的曲线的形状；
（2）当k=1时，已知O（0，0）、E（2，1），试探究是否存在这样的点Q：Q是轨迹T内部
的整点（平面内横、纵坐标均为整数的点称为整点），且△OEQ的面积S△OEQ=2？
若存在，求出点Q的坐标；若不存在，说明理由．
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，S是该三角形的面积，已知向量
p
=(1，2sinA)，
q
=(sinA，1+cosA)，且满足
p
∥
q
．
（1）求角A的大小；（2）若a=
3
，S=
3
3
4
，试判断△ABC的形状，并说明理由．
已知向量
a
=（2cos
x
2
，1），
b
=（cos
π+x
2
，3cosx），
（1）当
a
⊥
b
时，求cos2x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=（
a
-
b
）•
a
，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=4，a=
10
，求△ABC的面积S的最大值．
已知向量
a
=(
3
，-1)，
b
=(
1
2
，
3
2
)．
（1）求证：
a
⊥
b
；
（2）是否存在最小的常数k，对于任意的正数s，t，使
x
=
a
+(t+2s)
b
与
y
=-k
a
+(
1
t
+
1
s
)
b
垂直？如果存在，求出k的最小值；如果不存在，请说明理由．
已知向量
a
=（cosωx，cosωx），
b
=（
3
sinωx，cosωx），其中0＜ω＜2，f（x）=
a
•
b
+
1
2
，其图象的一条对称轴为x=
π
6
．
（1）求f（x）的表达式；
（2）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，S为其面积，若f(
A
2
)=2 ， b=2 ， S=2
3
，求a的值．

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