Question

已知向量

a

=（2cos

x

2

，1），

b

=（cos

π+x

2

，3cosx），
（1）当

a

⊥

b

时，求cos²x-sin2x的值；
（2）设函数f（x）=（

a

-

b

）•

a

，在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a，b，c，且f（A）=4，a=

10

，求△ABC的面积S的最大值．

Answer 1

分析：（1）利用向量的数量积公式计算，可得tanx=3，再将弦化切，即可求得结论；
（2）先确定并化简函数解析式，利用f（A）=4，求出A，根据a=

10

，可得b²+c²=10，利用基本不等式，可得△ABC的面积S的最大值．

解答：解：（1）由题意，可得2cos

x

2

cos

π+x

2

+3cosx=0
∴-sinx+3cosx=0，∴tanx=3
∴cos²x-sin2x=

cos2x-sin2x

cos2x+sin2x

=

1-2tanx

1+tan2x

=-

1

2

；
（2）f（x）=（2cos

x

2

+sin

x

2

，1-3cosx）•（2cos

x

2

，1）=sinx-cosx+3=

2

sin（x-

π

4

）+3
∵f（A）=4，∴

2

sin（A-

π

4

）+3=4，∴sin（A-

π

4

）=

2

2

∵A∈（0，π），∴A-

π

4

=

π

4

，∴A=

π

2

∵a=

10

，∴b²+c²=10
∴△ABC的面积S=

1

2

bc≤

1

2

×

1

2

（b²+c²）=

5

2

，当且仅当b=c=

5

时等号成立
∴△ABC的面积S的最大值为

5

2

点评：本题考查向量知识的运用，考查三角函数的化简，考查三角形面积的计算，考查基本不等式的运用，属于中档题．