Question

 已知抛物线＝，圆的圆心为点M。

（Ⅰ）求点M到抛物线的准线的距离；

（Ⅱ）已知点P是抛物线上一点（异于原点），过点P作圆的两条切线，交抛物线于A，B两点，若过M，P两点的直线垂足于AB，求直线的方程.

 

 

Answer 1

【答案】

 本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线，圆的位置关系等基础知识，同时考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力。满分15分。

（Ⅰ）解：由题意可知，抛物线的准线方程为：所以圆心M（0,4）到抛物线的距离是

 （Ⅱ）解：设P(x₀, x₀²)，A（）B（），由题意得设过点P的圆C₂的切线方程为y-x₀=k(x- x₀)

       即，    ①

          则

          即

           设PA，PB的斜率为，则是上述方程的两根，所以

            ，

     将①代入得，

       由于是此方程的根，故所以

由MP⊥AB,得，解得

即点P的坐标为，所以直线l的方程为。