Question

已知函数（m，n为常数，…是自然对数的底数），曲线在点处的切线方程是．

（1）求m，n的值；

（2）求的单调区间；

（3）设（其中为的导函数），证明：对任意，．

 

Answer 1

（1）m＝n＝2；（2）增区间是（0，1），减区间是（1，＋∞）；（3）见解析.

【解析】

试题分析：（1）曲线y＝f（x）在点（1,f（1））处的切线方程是y＝，表明f（1）＝，且f '（1）＝0，得到方程组，求出m，n的值；（2）结合（1），进一步讨论f '（x）的符号，确定f（x）的单调区间；（3）将转换为，证明1－x－xlnx≤且即可.

试题解析：（1）由得（）．

由已知得，解得m＝n．

又，即n＝2，

∴ m＝n＝2．

（2）由 （1）得，

令，，

当x∈（0，1）时，p（x）；当x∈（1，＋∞）时，p（x）＜0，

又，所以当x∈（0，1）时，f '（x）＞0； 当x∈（1，＋∞）时，f '（x）＜0，

∴ f（x）的单调增区间是（0，1），f（x）的单调减区间是（1，＋∞）．……8分

（3）证明：由已知有，，

于是对任意x＞0， 等价于，

由（2）知，，

∴ ，．

易得当时，，即单调递增；

当时，，即单调递减．

所以p（x）的最大值为，故≤．

设，则，

因此，当时，单调递增，．

故当时，，即．

∴ ≤＜．

∴ 对任意x＞0，．

考点：利用导数研究函数性质，不等式