Question

设函数f(x)=

1，     x＞0 0，     x=0 -1，   x＜0

，若g（x）=（x-2）²f（x-1），y=g（x）的反函数y=g^-1（x），则g（3）•g^-1（1）的值为（　　）

A．-3

B．-1

C．1

D．3

Answer 1

分析：f（x）为分段函数，要求g（3）•g^-1（1）可以先求g（3），代入g（x）=（x-2）²f（x-1），根据分段函数的性质即可求得，再求g^-1（1）相当于求方程（x-2）²f（x-1）=1，求出x的值；

解答：解：∵函数f(x)=

1，     x＞0 0，     x=0 -1，   x＜0

，若g（x）=（x-2）²f（x-1），
∴g（3）=（3-2）²f（2）=f（2）=1；
要求g^-1（1），y=g（x）的反函数y=g^-1（x），
∴可得方程（x-2）²f（x-1）=1，
当x=1时，f（x-1）=f（0）=0，显然不可能；（x-2）²≥0，∴f（x-1）≠-1，即x≥0
若（x-2）²=1，可得x=3或x=1（舍去），
当x=3时，（3-2）²f（2）=1，满足，∴g^-1（1）=3，
∴g（3）•g^-1（1）=3，
故选D；

点评：此题主要考查函数的值的求法以及反函数的定义，难度中等，考查的知识点比较全面，是一道好题；