题目内容
若f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1有三个单调区间，则a的取值范围是
{a|a＜-1或a＞2}
{a|a＜-1或a＞2}
．分析：求f（x）的导数f′（x），令f′（x）=0有两个不相等的实数根，解得a的取值范围．
解答：
解：∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1，∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）；
又f（x）有三个单调区间，如图：
∴f′（x）=0有两个不相等的实数根；
∴（6a）2-4×3×3（a+2）＞0，即a2-a-2＞0；
解得，a＜-1，或a＞2；
∴a的取值范围是：{a|a＜-1或a＞2}．
故答案为：{a|a＜-1或a＞2}．
解：∵f（x）=x3+3ax2+3（a+2）x+1，∴f′（x）=3x2+6ax+3（a+2）；又f（x）有三个单调区间，如图：
∴f′（x）=0有两个不相等的实数根；
∴（6a）2-4×3×3（a+2）＞0，即a2-a-2＞0；
解得，a＜-1，或a＞2；
∴a的取值范围是：{a|a＜-1或a＞2}．
故答案为：{a|a＜-1或a＞2}．
点评：本题考查了利用函数的导数来判定函数的单调性问题，是中档题．
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