Question

已知数列，.

（1）求证：数列为等比数列；

（2）数列中，是否存在连续的三项，这三项构成等比数列？试说明理由；

（3）设，其中为常数，且，

，求.

Answer 1

 解：⑴∵=，∴

，

∵∴为常数∴数列为等比数列

⑵取数列的连续三项，

∵，

，∴，即，

∴数列中不存在连续三项构成等比数列；            

⑶当时，，此时；

当时，为偶数；而为奇数，此时；

当时，，此时；

当时，，发现符合要求，下面证明唯一性（即只有符合要求）。

由得，

设，则是上的减函数，∴ 的解只有一个

从而当且仅当时，即，此时；

当时，，发现符合要求，下面同理可证明唯一性（即只有符合要求）。

从而当且仅当时，即，此时；

综上，当，或时，；

当时，，

当时，。