Question

已知数列a_n满足a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*），数列b_n满足b₁=1，（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*），数列c_n满足c1=1，

c1

1

+

c2

22

+…+

cn

n2

=

cn+1

n+1

（n∈N^*）
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）求数列c_n的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得k(an+

7

2

)-

3

bn+1

＞cn+6n+15对一切n∈N^*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用数列的递推关系建立数列的第n项与前面各项的关系是解决本题的关键，注意累加思想和累乘思想的运用；
（2）利用相减的思想建立数列各项之间的关系是解决本题的关键，注意累乘思想的运用和分类讨论思想的运用；
（3）将所给的不等式进行转化是解决本题的关键，注意分离变量思想和函数最值思想的运用．

解答：解：（1）∵a₁=1，a_n+1=a_n+n（n∈N^*）
∴n≥2，a_n=（a_n-a_n-1）+（a_n-1-a_n-2）+…+（a₂-a₁）+a₁=(n-1)+(n-2)+…+1+1=

n(n-1)

2

+1=

1

2

n2-

1

2

n+1
∴an=

1

2

n2-

1

2

n+1（n∈N^*），（n+2）b_n+1=nb_n（n∈N^*）
∴

bn+1

bn

=

n

n+2

，
∴n≥2，bn=

bn

bn-1

•

bn-1

bn-2

…

b2

b1

•b1=

n-1

n+1

•

n-2

n

…

1

3

•1=

2

n(n+1)

，
∴bn=

2

n(n+1)

（n∈N^*）

（2）c1=1，

c1

1

+

c2

22

+…+

cn

n2

=

cn+1

n+1

∴

c1

1

+

c2

22

+…+

cn-1

(n-1)2

=

cn

n

（n≥2）（n∈N^*）
两式相减得：

cn

n2

=

cn+1

n+1

-

cn

n

∴

cn+1

cn

=

(n+1)2

n2

，n=1，

c1

1

=

c2

2

得出c₂=2，n≥2
∴cn=

cn

cn-1

•

cn-1

cn-2

…

c3

c2

•c2=

n2

(n-1)2

•

(n-1)2

(n-2)2

…

32

22

•2=

n2

2

cn=

1，n=1 n2 2 ，n≥2，n∈N*

．
（3）当n=1时，k(a1+

7

2

)-3•

1

b2

＞c1+6+15
∴k＞

62

9

且k∈N^*k≥7且k∈N^*
当n≥2时，k(an+

7

2

)-

3

bn+1

＞cn+6n+15，即k(

n2

2

-

n

2

+

9

2

)-

3

2

(n+2)(n+1)＞

n2

2

+6n+15
k（n²-n+9）＞4n²+21n+36
∵n²-n+9＞0恒成立，
∴k＞

4n2+21n+36

n2-n+9

事实上：

4n2+21n+36

n2-n+9

=4+

25

n+ 9 n -1

n+

9

n

≥6（n=3取等号）
∴(

4n2+21n+36

n2-n+9

)max=9∴k＞9且k∈N^*．
综上：k≥10，k∈N^*故k的最小值为10．

点评：本题考查数列的递推关系与数列通项公式之间的关系，考查通过数列的递推关系寻找相邻项之间关系的累加法和累乘法求数列的通项公式，考查学生分析问题解决问题的转化与化归思想，考查学生不等式恒成立问题的解决方法，考查学生的函数思想处理数列问题．