Question

（2012•南京一模）在数列{a_n}中，已知a₁=p＞0，且an+1•an=n2+3n+2，n∈N*．
（1）若数列{a_n}为等差数列，求p的值；
（2）求数列{a_n}的前n项和S_n；
（3）当n≥2时，求证：

n

i=1

2

a 2 i

＞

n-1

n+1

．

Answer 1

分析：（1）设数列{a_n}的公差为d，由题意得[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2对n∈N*恒成立，即

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，求出首项和公差，再由a₁=p＞0，求得p的值．
（2）由条件可得

an+2

an

=

n+3

n+1

，①当n为奇数，求得a_n=

n+1

2

p，即当n=1时也符合．②当n为偶数，由题意可得 a_n=

n+1

3

a₂ ，因为a₁?a₂=6，由此求得数列{a_n}的通项公式．
再用裂项法和放缩法证明两种情况下S_n的值都大于

n-1

n+1

．

解答：解：（1）设数列{a_n}的公差为d，则a_n=a₁+（n-1）d，a_n+1=a₁+nd．由题意得，[a₁+（n-1）d]（a₁+nd）=n²+3n+2对n∈N*恒成立．
即d²n²+（2a₁d-d²）n+（a₁²-a₁d）=n²+3n+2． 所以

d2=1 2a1d-d2=3 a12-a1d=2

，即

d=1 a1=2

或

d=-1 a1=-2

．
因为a₁=p＞0，故p的值为2． …（3分）
（2）因为a_n+1?a_n=n²+3n+2=（n+1）（n+2），所以a_n+2?a_n+1=（n+2）（n+3）． 所以

an+2

an

=

n+3

n+1

．  …（5分）
①当n为奇数，且n≥3时，

a3

a1

=

4

2

，

a5

a3

=

6

4

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

． 相乘得

an

a1

=

n+1

2

，所以a_n=

n+1

2

p．当n=1时也符合．
②当n为偶数，且n≥4时，

a4

a2

=

5

3

，

a6

a4

=

7

5

，…，

an

an-2

=

n+1

n-1

．  相乘得

an

a2

=

n+1

3

，所以a_n=

n+1

3

a₂．
因为a₁?a₂=6，所以a₂=

6

p

．  所以a_n=

2(n+1)

p

，当n=2时也符合． 所以数列{a_n}的通项公式为a_n=

n+1 2 p，(n为奇数) 2(n+1) p ，(n为偶数

．  …（7分）
当n为偶数时，S_n=p+

6

p

+2p+

10

p

+…+

n

2

p+

2(n+1)

p

=p?

n 2 (1+ n 2 )

2

+

2

p

•

n 2 (3+n+1)

2

=

n(n+2)

8

p+

n(n+4)

2p

．
当n为奇数时，S_n=p+

6

p

+2p+

10

p

+3p+

14

p

+…+

2n

p

+

n+1

2

p=p?

n+1 2 (1+ n+1 2 )

2

+

2

p

?

n+1 2 (3+n)

2

=

(n+1)(n+3)

8

p+

(n-1)(n+3)

2p

．
所以S_n=

(n+1)(n+3) 8 p+ (n-1)(n+3) 2p ，(n为奇数) n(n+2) 8 p+ n(n+4) 2p ，(n为偶数)

．  …（10分）
（3）当n为偶数时，

n

i=1

2

a12

=

2

a 2 1

+

2

a 2 2

+

2

a 2 3

+…+

2

a 2 n-1

+

2

a 2 n

≥4（

1

a1a2

+

1

a3a4

+…+

1

an-1an

）=4[

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

]
＞2[

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+…+

1

n×(n+1)

+

1

(n+1)×(n+2)

]
=2（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n+1

-

1

n+2

）=

n

n+2

．…（13分）
当n为奇数，且n≥2时，

n

i=1

2

a12

=

2

a 2 1

+

2

a 2 2

+

2

a 2 3

+…+

2

a 2 n-1

+

2

a 2 n

≥4（

1

a1a2

+

1

a3a4

+…+

1

an-2an-1

）+

2

a 2 n

＞4（

1

2×3

+

1

4×5

+…+

1

(n-1)×n

）
＞2（

1

2×3

+

1

3×4

+…+

1

(n-1)×n

+

1

n×(n+1)

）=

n-1

n+1

．…（15分）
又因为对任意n∈N^*，都有

n-1

n+1

＜

n

n+2

，
故当n≥2时，

n

i=1

2

a12

＞

n-1

n+1

．…（16分）

点评：本题主要考查等差数列的定义和性质，等差数列的通项公式，数列与不等式综合，用裂项法进行数列求和，用放缩法证明不等式，属于难题．