Question

【题目】已知函数f（x）=（2﹣a）lnx+ +2ax（a≤0）．
（1）当a=0时，求f（x）的极值；
（2）当a＜0时，讨论f（x）的单调性；
（3）若对任意的a∈（﹣3，﹣2），x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：依题意知f（x）的定义域为（0，+∞），

当a=0时，f（x）=2lnx+ ，f′（x）= ﹣ = ，

令f′（x）=0，解得x= ，

当0＜x＜ 时，f′（x）＜0；

当x≥ 时，f′（x）＞0

又∵f（ ）=2ln =2﹣2ln2

∴f（x）的极小值为2﹣2ln2，无极大值．

（2）解：f′（x）= ﹣ +2a= ，

当a＜﹣2时，﹣ ＜ ，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜﹣ 或x＞ ，

令f′（x）＞0 得﹣ ＜x＜ ；

当﹣2＜a＜0时，得﹣ ＞ ，

令f′（x）＜0 得 0＜x＜ 或x＞﹣ ，

令f′（x）＞0 得 ＜x＜﹣ ；

当a=﹣2时，f′（x）=﹣ ≤0，

综上所述，当a＜﹣2时f（x），的递减区间为（0，﹣ ）和（ ，+∞），递增区间为（﹣ ， ）；

当a=﹣2时，f（x）在（0，+∞）单调递减；

当﹣2＜a＜0时，f（x）的递减区间为（0， ）和（﹣ ，+∞），递增区间为（ ，﹣ ）．

（3）解：由（2）可知，当a∈（﹣3，﹣2）时，f（x）在区间[1，3]上单调递减，

当x=1时，f（x）取最大值；

当x=3时，f（x）取最小值；

|f（x1）﹣f（x2）|≤f（1）﹣f（3）=（1+2a）﹣[（2﹣a）ln3+ +6a]= ﹣4a+（a﹣2）ln3，

∵（m+ln3）a﹣ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|恒成立，

∴（m+ln3）a﹣2ln3＞ ﹣4a+（a﹣2）ln3

整理得ma＞ ﹣4a，

∵a＜0，∴m＜ ﹣4恒成立，

∵﹣3＜a＜﹣2，∴﹣ ＜ ﹣4＜﹣ ，

∴m≤﹣ ．

【解析】（1）当a=0时，f（x）=2lnx+ ，求导，令f′（x）=0，解方程，分析导数的变化情况，确定函数的极值；（2）当a＜0时，求导，对导数因式分解，比较两根的大小，确定函数f（x）单调区间；（3）若对任意a∈（﹣3，﹣2）及x1 ， x2∈[1，3]，恒有（m+ln3）a﹣2ln3＞|f（x1）﹣f（x2）|成立，求函数f（x）的最大值和最小值，解不等式，可求实数m的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解利用导数研究函数的单调性的相关知识，掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减，以及对函数的极值与导数的理解，了解求函数的极值的方法是:（1）如果在附近的左侧,右侧,那么是极大值（2）如果在附近的左侧,右侧,那么是极小值．