Question

已知等差数列{a_n}中，公差d＞0，其前n项和为S_n，且满足：a₂•a₃=45，a₁+a₄=14．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）令bn=

2Sn

2n-1

，f（n）=

bn

(n+25)•bn+1

（n∈N^*），求f（n）的最大值．

Answer 1

（Ⅰ）∵数列a_n}是等差数列，
∴a₂•a₃=45，a₁+a₄=a₂+a₃=14．
∴

a2=3 a3=9

或

a2=9 a3=5

．
∵公差d＞0，
∴

a2=3 a3=9

，解得d=4，a₁=1．
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3．
（Ⅱ）∵Sn=na1+

n(n-1)d

2

=2n2-n，
∴bn=

2Sn

2n-1

=2n，
∴f（n）=

bn

(n+25)•bn+1

=

2n

(n+25)?2(n+1)

=

n

n2+26n+5

=

1

n+ 25 n +26

≤

1

26+2 25 n •n

=

1

26+10

=

1

36

．
当且仅当n=

25

n

，即n=5时，f（n）取得最大值

1

36

．