已知椭圆C:$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$.F1.F2是椭圆C的两个焦点.P是C上任意一点.且△PF1F2的周长为8+4$\sqrt{3}$．(Ⅰ)求椭圆的方程,(Ⅱ)设直线l与椭圆相交于不同的两点A.B.已知点A的坐标为在线段AB的垂直平分线上.求弦AB的� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网——

题目内容

6．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率e=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，F₁，F₂是椭圆C的两个焦点，P是C上任意一点，且△PF₁F₂的周长为8+4$\sqrt{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），点Q（0，-3）在线段AB的垂直平分线上，求弦AB的长．

分析（Ⅰ）由椭圆的离心率公式和椭圆的定义、及a，b，c的关系，计算即可得到椭圆的方程；
（Ⅱ）由A（-4，0），可设AB的方程为y=k（x+4），k≠0，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，求得M的坐标，由两直线垂直的条件，即可求得弦长，注意讨论k=0的情况．

解答解：（Ⅰ）由题意可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由椭圆的定义可得，|PF₁|+|PF₂|=2a，
△PF₁F₂的周长为2a+2c=8+4$\sqrt{3}$，
解得a=4，c=2$\sqrt{3}$，
b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=$\sqrt{16-12}$=2，
即有椭圆的方程为$\frac{{x}^{2}}{16}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（Ⅱ）由A（-4，0），可设AB的方程为y=k（x+4），k≠0，
代入椭圆方程，可得（1+4k²）x²+32k²x+64k²-16=0，
设B（x₂，y₂），AB的中点坐标为M（x₀，y₀），则
x₀=$\frac{-4+{x}_{2}}{2}$=$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，y₀=k（x₀+4）=$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$，
则M（$\frac{-16{k}^{2}}{1+4{k}^{2}}$，$\frac{4k}{1+4{k}^{2}}$），由k_MQ=-$\frac{1}{K}$，可得4k²-4k+1=0，解得k=$\frac{1}{2}$，
此时M（-2，1），|AB|=2|MA|=2$\sqrt{5}$；
当k=0时，AB的中垂线为y轴也合题意，此时|AB|=8．
综上可得，AB的长为8或2$\sqrt{5}$．

点评本题考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和椭圆的定义，考查弦长的求法，注意运用直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理和中点坐标公式，考查运算能力，属于中档题．

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