题目内容

13．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{5}$+y2=1，点F为椭圆的左焦点，点P为椭圆上任意一点，点A（5，4），那么|PA|-|PF|的最小值5$-2\sqrt{5}$．

分析 如图所示，设椭圆的右焦点为F′．可得|PF|=2$\sqrt{5}$-|PF′|，则|PA|-|PF|=|PA|+|PF′|-2$\sqrt{5}$≥|AF′|-2$\sqrt{5}$．

解答 解：如图所示，设椭圆的右焦点为F′（2，0）．
|AF′|=$\sqrt{（5-2）^{2}+{4}^{2}}$=5．
则|PF|=2$\sqrt{5}$-|PF′|，
∴|PA|-|PF|=|PA|+|PF′|-2$\sqrt{5}$
≥|AF′|-2$\sqrt{5}$=5-2$\sqrt{5}$．
故答案为：5-2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、三角形三边大小关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

练习册系列答案
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13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b2+c2=a2+bc
（1）求角A的大小
（2）若△ABC的三个顶点都在单位圆上，且b2+c2=4，求△ABC的面积．
14．已知实数x、y满足：$\left\{\begin{array}{l}{x-1≤0}\\{x-y+1≥0}\\{x+y-1≥0}\end{array}\right.$，则z=2x-y的最大值为（　　）
A．2B．0C．-1D．-3
1．函数f（x）=ln（x+1）-x2-x
（Ⅰ）若关于x的函数h（x）=f（x）+$\frac{5}{2}$x-t在[0，2]上恰有两个不同零点，求实数t的取值范围；
（Ⅱ）求证：对任意的n∈N*，不等式ln（n+2）＜1+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n}$+ln2都成立．
8．下列命题是真命题的有④⑤
①平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆；
②如果向量$\overrightarrow{{e}_{1}}$，$\overrightarrow{{e}_{2}}$，$\overrightarrow{{e}_{3}}$是三个不共线的向量，$\overrightarrow{a}$是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得$\overrightarrow{a}$=λ1$\overrightarrow{{e}_{1}}$+λ2$\overrightarrow{{e}_{2}}$+λ3$\overrightarrow{{e}_{3}}$；
③方程y=$\sqrt{x}$与x=y2表示同一曲线；
④若命题p是命题q的充分非必要条件，则￢p是￢q的必要非充分条件；
⑤方程$\frac{{x}^{2}}{5-m}$+$\frac{{y}^{2}}{2-m}$=1表示双曲线的充要条件是2＜m＜5．
18．设f（x）=max$\left\{{{x^2}-4x+3，\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}，3-x}\right\}$，其中max{a，b，c}表示三个数a，b，c中的最大值，则f（x）的最小值是2．
5．已知函数f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，$f（x）=\left\{\begin{array}{l}\frac{5}{16}{x^2}，0≤x≤2\\{（\frac{1}{2}）^x}+1，\;x＞2\end{array}\right.$，若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b=0有且仅有6个不同的实数根，则实数a的取值范围是（-$\frac{5}{2}$，-$\frac{9}{4}$）∪（-$\frac{9}{4}$，-1）．
2．已知椭圆$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$，其短轴的一个端点与两个焦点构成面积为$\sqrt{3}$的正三角形，过椭圆C的右焦点作斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于A、B两点，线段AB的中点为P．
（I）求椭圆C的标准方程；
（II）过点P垂直于AB的直线与x轴交于点D，试求$\frac{{|{DP}|}}{{|{AB}|}}$的取值范围．
3．已知函数f（x）=$\frac{alnx-b{e}^{x}}{x}$ （a，b∈R，且a≠0，e为自然对数的底数）．
（I）若曲线f（x）在点（e，f（e））处的切线斜率为0，且f（x）有极小值，求实数a的取值范围．
（II）（i）当 a=b=l 时，证明：xf（x）+2＜0；
（ii）当 a=1，b=-1 时，若不等式：xf（x）＞e+m（x-1）在区间（1，+∞）内恒成立，求实数m的最大值．

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