Question

【题目】已知函数为上的偶函数，为上的奇函数，且.

（1）求和的表达式；

（2）判断并证明的单调性；

（3）若存在使得不等式成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1），；（2）在上单调递增，证明见解析；（3）.

【解析】

（1）根据函数的奇偶性列出两个方程，解出即可；

（2）根据函数单调性的定义，取值、作差、变形、定号、下结论即可证出；

（3）先将不等式化为，再换元，

令，然后分参转化为，最后求出的最大值，即得实数的取值范围．

（1）因为①，将换为，代入上式得，

由于是偶函数，是奇函数，所以，，

即②，

由①②可解得，，．

（2）在上单调递增．

证明如下：任取且，

，

因为当时，，所以，

所以在上单调递增．

（3）由题意可得，

令，由可得，则，

即原命题等价于存在使得成立，

分离参变量得，只需即可.

又因为，所以，即，

所以，实数的取值范围为．