题目内容
【题目】已知抛物线
焦点为
，直线
过与抛物线交于
两点.到准线的距离之和最小为8.
（1）求抛物线方程；
（2）若抛物线上一点
纵坐标为
，直线
分别交准线于
.求证：以
为直径的圆过焦点.
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
（1）根据题意及抛物线定义，可知
，从而可求出抛物线方程；
（2）当直线
与
轴垂直时，求出
，
的坐标，进而证得以
为直径的圆过焦点
；当直线与轴不垂直时，设出直线方程，
点和
点坐标，并与抛物线方程联立，
借助根与系数的关系以及向量数量积的坐标表示，证得
，从而证出以为直径的圆过焦点.
（1）
到准线的距离之和等于到焦点的距离之和，即为
，
最小为通径，所以，解得
，
所以抛物线方程为.
（2）抛物线焦点
，准线方程：
，
由
点纵坐标为
，得
，
当直线与轴垂直时，
直线方程为
，此时，
，
，
直线
：
，直线
：
，
所以，
，
，
所以，圆心坐标为
，半径
，
焦点到圆心的距离
，
此时，以为直径的圆过焦点.
当直线与轴不垂直时，
设直线
，设
，
，得
，
，
，
直线为
代入准线得：
同理可得
，
所以
，所以焦点在以为直径的圆上.
综上，以为直径的圆过焦点.
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