Question

【题目】如图，在四棱锥中，底面为正方形，为等边三角形，平面平面.

（1）证明：平面平面；

（2）若，为线段的中点，求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】

(1) 取的中点，连结,根据面面垂直得到平面，所以，再由可得到线面垂直，进而得到面面垂直；（2）平面，所以，两点到平面的距离相等，均为，为线段的中点，所以到平面的距离，再由公式得到体积.

证明：（1）取的中点，连结，

因为为等边三角形，

所以.

又因为平面，平面平面，平面平面，

所以平面.

因为平面，

所以.

因为底面为正方形，

所以.

因为，

所以平面，

又因为平面，

所以平面平面.

（2）由（1）得平面，

所以到平面的距离.

因为底面为正方形，

所以.

又因为平面，平面，

所以平面.

所以，两点到平面的距离相等，均为.

又为线段的中点，

所以到平面的距离.

由（1）知，平面，因为平面，所以，

所以.