题目内容
如图，在棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E=CF=1．（1）求两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值；
（2）求直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值．
分析：（1）以以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz，则我们易求出已知中，各点的坐标，进而求出向量
，
的坐标．代入向量夹角公式，结合异面直线夹角公式，即可得到答案．
（2）设出平面BED1F的一个法向量为
，根据法向量与平面内任一向量垂直，数量积为0，构造方程组，求出平面BED1F的法向量为
的坐标，代入线面夹角向量公式，即可求出答案．
| AC1 |
| D1E |
（2）设出平面BED1F的一个法向量为
| n |
| n |
解答：解：（1）以D为原点，建立空间直角坐标系D-xyz如图所示：
则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴
=（-3，3，3），
=（3，0，-1）
∴cosθ=
=
=-
则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为
（2）B（3，3，0），
=（0，-3，2），
=（3，0，-1）
设平面BED1F的一个法向量为
=（x，y，z）
由
得
令x=1，则
=（1，2，3）
则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为
|
|=|
|=
则A（3，0，0），C1=（0，3，3），D1=（0，0，3），E（3，0，2）
∴
| AC1 |
| D1E |
∴cosθ=
| ||||
|
|
| -9-3 | ||||
3
|
2
| ||
| 15 |
则两条异面直线AC1与D1E所成角的余弦值为
2
| ||
| 15 |
（2）B（3，3，0），
. |
| BE |
| D1E |
设平面BED1F的一个法向量为
| n |
由
|
|
令x=1，则
| n |
则直线AC1与平面BED1F所成角的正弦值为
|
| ||||
|
|
| -3+6+9 | ||||
3
|
2
| ||
| 21 |
点评：本题考查的知识点是用空间向量求直线与平面的夹角，异面直线及其所成的角，直线与平面所成的角，用空间向量求直线间的夹角、距离，其中构造空间直角坐标系，将线线夹角及线面夹角问题，转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
练习册系列答案
相关题目
棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如图，则图中三角形（正四面体的截面）的面积是（ ）A、
| ||||
B、
| ||||
C、
| ||||
D、
|
如图，正四棱柱ABCD-A′B′C′D′中，底面边长为2，侧棱长为3，E为BC的中点，FG分别为CC′、DD′上的点，且CF=2GD=2．求：
（2011•安徽模拟）下面关于棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1叙述正确的是
