Question

如图，在所有棱长为a的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，D为BC的中点.

(1)求证:AD⊥BC₁；

(2)求二面角ABC₁D的大小；

(3)求点B₁到平面ABC₁的距离.

Answer 1

(1)证明:在正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，CC₁⊥面ABC,

AD⊥BC₁.

(2)解:过D作DE⊥BC₁于E，连结AE，

由(1)知AD⊥面BC₁CB，

∴AE在面BB₁C₁C上的射影是DE.故AE⊥BC₁.

∴∠AED为二面角A-BC_1-D的平面角.

依题设BC₁=a，故在△BC₁D中,

DE=.

又AD=a，在Rt△ADE中，tan∠AED=,

∴二面角A-BC_1-D的大小为arctan.

(3)解:依题意，AC₁=BC₁=a，取AB的中点F，连结C₁F，则C₁F=a.设B₁到平面ABC₁的距离为d，则由,

得·d=·AD,

即·a·a·d=·a·a.

∴d=a,即B₁到平面ABC₁的距离为a.