Question

如图，在等腰直角三角形中， =90⁰ ，="6," 分别是，上的点，  为的中点.将沿折起，得到如图所示的四棱椎，其中

（1）证明：；
（2）求二面角的平面角的余弦值.

Answer 1

（1）详见解析  （2）

试题分析：（1）F为ED的中点，连接OF,A’F，根据已知计算出的长度，满足勾股定理，, A’F为等腰△A’DE底边的中线，, ,证得线面垂直，线线垂直，再线面垂直;(2)过点O作的延长线于，连接．利用（1）可知：平面，根据三垂线定理得，所以为二面角的平面角．在直角中，求出即可；
试题解析：
证明: (1)设F为ED的中点，连接OF,A’F,计算得A’F=2，OF=1

∵A’F为等腰△A’DE底边的中线，∴A’F⊥DE
∵OF在原等腰△ABC底边BC的高线上，
∴OF⊥DE
又∵A’F，OF平面A’OF, A’FOF=F,
∴DE⊥平面A’OF
∵A’O平面A’OF, ∴DE⊥A’O
在△A’FO中，A’+=3+1=,∴A’O⊥OF
∵OFDE=F,OF平面BCDE,DE平面BCDE, ∴A’O⊥平面BCDE          6分
(2)：如答图1，过O作CD的垂线交CD的延长线于M，连接A’M
∵A’O⊥平面BCDE,CD平面BCDE, ∴CD⊥A’O ∵OMA’O="O," ∴CD⊥平面A’OM
∵A’M平面A’OM∴CD⊥A’M ∴∠A’MO为所求二面角的平面角
在Rt△OMC中，OM==, A’O=于是在Rt△A’OM中，A’M=∴∠A’OM=    13分