Question

14．已知数列{a_n}的前n项和S_n满足2S_n+a_n=2n+4（n∈N^*）．
（1）求证：数列{a_n-1}为等比数列，并求{a_n}的通项公式．
（2）令b_n=$\frac{1}{{3}^{n}{a}_{n}{a}_{n+1}}$，数列{b_n}的前n项和为T_n，求证：T_n＜$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 （1）利用递推式可得：2a_n+a_n-a_n-1=2，变形为a_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-1）$，利用等比数列的定义及其通项公式即可得出．
（2）b_n=$\frac{{3}^{n+1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$，利用“裂项求和”、不等式的性质即可证明．

解答 证明：（1）∵2S_n+a_n=2n+4（n∈N^*），
∴当n=1时，2a₁+a₁=2+4，解得a₁=2．
当n≥2时，2S_n-1+a_n-1=2（n-1）+4，
2a_n+a_n-a_n-1=2，化为a_n=$\frac{1}{3}{a}_{n-1}+\frac{2}{3}$，a_n-1=$\frac{1}{3}（{a}_{n-1}-1）$，a₁-1=1，
∴数列{a_n-1}为等比数列，首项为1，公比为$\frac{1}{3}$．
∴a_n-1=$（\frac{1}{3}）^{n-1}$，即a_n=1-$（\frac{1}{3}）^{n}$．
（2）b_n=$\frac{1}{{3}^{n}{a}_{n}{a}_{n+1}}$=$\frac{{3}^{n+1}}{（{3}^{n}-1）（{3}^{n+1}-1）}$=$\frac{1}{2}（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$，
∴数列{b_n}的前n项和为T_n=$\frac{1}{2}[（\frac{1}{{3}^{1}-1}-\frac{1}{{3}^{2}-1}）$+$（\frac{1}{{3}^{2}-1}-\frac{1}{{3}^{3}-1}）$+…+$（\frac{1}{{3}^{n}-1}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）]$
=$\frac{1}{2}（\frac{1}{2}-\frac{1}{{3}^{n+1}-1}）$＜$\frac{1}{4}$．
∴T_n＜$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了递推式的应用、等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．