Question

【题目】已知函数．

（Ⅰ）过原点作曲线的切线，求切线方程；

（Ⅱ）当时，讨论曲线与曲线公共点的个数．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）当时，有0个公共点；当时，有1个公共点；当时，有2个公共点．

【解析】【试题分析】（1）依据题设借助导数的几何意义分析求解；（2）先将零点的个数化为方程根的个数，再将方程问题转化为函数的图像问题，最后通过构造函数，运用导数的知识分析求解：

（Ⅰ）由题意，设切点为，由题意可得

，即，解得，即切点．

所以，所以切线方程为．

（Ⅱ）当， 时，曲线与曲线的公共点个数

即方程根的个数．

由得．

令，则，令，解得．

随变化时， ， 的变化情况如下表：

		2
	—	0	+
	↘	极小值	↗

其中．所以为在的最小值．

所以对曲线与曲线公共点的个数，讨论如下：

当时，有0个公共点；当时，有1个公共点；当时，有2个公共点．