Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时的解析式为f(x)=x-

2

x

-1．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）求函数f（x）的零点．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根据函数的奇偶性的性质即可求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据函数f（x）的零点的定义，直接求解即可．

解答：解：（Ⅰ）∵函数f（x）是奇函数，且当x＞0时，f(x)=x-

2

x

-1，
∴当x＜0时，-x＞0，
∴f(x)=-f(-x)=-(-x-

2

-x

-1)=x-

2

x

+1，
又f（x）的定义域为R，
∴当x=0时，f（x）=0，
综上可得，f(x)=

x- 2 x -1，x＞0 0，x=0 x- 2 x +1，x＜0

．
（Ⅱ）当x＞0时，令x-

2

x

-1=0，
即x²-x-2=0，
解得x₁=2，x₂=-1（舍去）．
当x=0时，f（x）=0，
∴x=0．
当x＜0时，令x-

2

x

+1=0，
即x²+x-2=0，
解得x₁=-2，x₂=1（舍去），
综上可得，函数f（x）的零点为-2，0，2．

点评：本题主要考查函数奇偶性的应用以及函数零点的求出，根据奇偶性求出f（x）的表达式是解决本题的关键．