Question

13．现有4名男生、3名女生站成一排照相．
（1）两端是女生，有多少种不同的站法？
（2）任意两名女生不相邻，有多少种不同的站法？
（3）女生必须在一起，有多少种不同的站法？
（4）女生甲要在女生乙的右方（可以不相邻），有多少种不同的站法？
（5）女生甲不在左端，女生乙不在右端，有多少种不同的站法？

Answer 1

分析 （1）先排女生，有A₃²种方法，再排其余学生，有A₅⁵种方法．问题得以解决；
（2）利用插空法，把3名女生插入到4名男生所形成的5个空中的3个即可；
（3）3名女生要相邻，先把3名女生捆绑在一起看做一个复合元素，再和另外的4名男生全排；
（4）顺序一定，用除法；
（5）分两类，第一类：女生甲在右端，第二类，女生甲在不右端，根据分类计数原理可得．

解答 解：（1）先排女生，有A₃²种方法，再排其余学生，有A₅⁵种方法，共有$A_3^2A_5^5=720$种方法；
（2）先排男生，有A₄⁴种方法，再插入女生，有A₅³种方法，共有$A_4^4A_5^3=1440$种方法；
（3）女生必须在一起，捆绑与女生全排，有$A_3^3A_5^5=720$种方法；
（4）7名学生全排，甲乙顺序有2种，故有$\frac{A_7^7}{2}=2520$种方法；
（5）第一类：女生甲在右端，A₆⁶=720种，
第二类，女生甲在不右端，则从中间5个位置中选一个给甲，再从除右端的剩余的5个位置选一个给乙，其余的5个人任意排，则此时的排法数为C₅¹C₅¹A₅⁵=3000种，
根据分类计数原理，可得720+3000=3720种方法．

点评 本题考查排列、组合的运用，涉及分类、分步计数原理原理的应用，常见方法：特殊元素优先安排法，不相邻元素插孔法，相邻元素捆绑法的应用．