Question

4．已知函数f（x）=ax²+|x-2a|，其中a＞0．
（Ⅰ）求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若g（x）=f（x）-b在x∈[0，1]上存在零点，求实数b的取值范围（用a表示）．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 将f（x）用分段函数的形式表示，求得对称轴，对a讨论，分当0＜a≤$\frac{1}{2}$，当a＞$\frac{1}{2}$时，求得单调区间即可；
（Ⅱ）b的取值范围即y=f（x），x∈[0，1]的值域．对a讨论，分当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，当a≥1时，当0＜a＜$\frac{1}{3}$时，当$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，求得f（x）的值域，即可得到所求b的范围．

解答 解：（Ⅰ） 函数f（x）=ax²+|x-2a|=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}+x-2a，x≥2a}\\{a{x}^{2}-x+2a，x＜2a}\end{array}\right.$，a＞0．
当x≥2a时，对称轴x=-$\frac{1}{2a}$＜2a，f（x）在[2a，+∞）单调递增；
当x＜2a时，对称轴$x=\frac{1}{2a}$，又a＞0，$\frac{1}{2a}$≥2a，即有0＜a≤$\frac{1}{2}$，
∴当0＜a≤$\frac{1}{2}$，f（x）在（-∞，2a）单调递减；在（2a，+∞）递增；
当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）在（-∞，$\frac{1}{2a}$）单调递减，[$\frac{1}{2a}$，2a]单调递增．
综上所述，当0＜a≤$\frac{1}{2}$，f（x）的减区间为（-∞，2a）；增区间为（2a，+∞）；
当a＞$\frac{1}{2}$时，f（x）的减区间为（-∞，$\frac{1}{2a}$），增区间为[$\frac{1}{2a}$，+∞）；
（Ⅱ）b的取值范围即y=f（x），x∈[0，1]的值域．
当$a≥\frac{1}{2}$时，f（x）=ax²-x+2a，对称轴$x=\frac{1}{2a}∈[0，1]$，
∴${f_{min}}（x）=f（\frac{1}{2a}）=2a-\frac{1}{4a}$∴${f_{max}}（x）=max\{f（0），f（1）\}=\left\{\begin{array}{l}2a，\frac{1}{2}≤a＜1\\ 3a-1，a≥1\end{array}\right.$，
所以，当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，b的取值范围是[2a-$\frac{1}{4a}$，2a]；
当a≥1时，b的取值范围是[2a-$\frac{1}{4a}$，3a-1]；
当0＜a＜$\frac{1}{2}$时，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{a{x}^{2}-x+2a，0≤x≤2a}\\{a{x}^{2}+x-2a，2a＜x≤1}\end{array}\right.$，
当x∈（2a，1]时，对称轴x=-$\frac{1}{2a}$＜2a，f（x）在（2a，1]单调递增，其值域为（4a³，1-a]；
当x∈[0，2a]时，对称轴$x=\frac{1}{2a}≥2a$，f（x）在[0，2a]单调递减，其值域为[4a³，2a]；
又max{1-a，2a}=$\left\{\begin{array}{l}{1-a，0＜a≤\frac{1}{3}}\\{2a，\frac{1}{3}＜a＜\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
所以当0＜a＜$\frac{1}{3}$时，b的取值范围是[4a³，1-a]；
当$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，b的取值范围是[4a³，2a]．
综上所述，当$0＜a＜\frac{1}{3}$时，b的取值范围是[4a³，1-a]；
当$\frac{1}{3}$≤a＜$\frac{1}{2}$时，b的取值范围是[4a³，2a]；
当$\frac{1}{2}$≤a＜1时，b的取值范围是[2a-$\frac{1}{4a}$，2a]；
当a≥1时，b的取值范围是[2a-$\frac{1}{4a}$，3a-1]．

点评 本题考查带绝对值的函数的单调性和值域问题的解法，考查函数零点的求法，注意运用转化思想和分类讨论的思想方法，考查化简整理的运算能力，属于难题．