Question

已知双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1共焦点，它们的离心率之和为

14

5

，求：
（1）双曲线的标准方程；           
（2）双曲线的渐近线方程．

Answer 1

分析：（1）由题意可知双曲线的焦点在x轴，并求得焦点为F（±4，0），离心率为2，从而c=4，a=2，b=2

3

；
（2）利用双曲线方程即可写出其渐近线方程．

解答：解：（1）∵椭圆焦点为F（±4，0），离心率为e=

4

5

，而双曲线与椭圆

x2

25

+

y2

9

=1共焦点，
∴双曲线的焦点为F（±4，0），又它们的离心率之和为

14

5

，设该双曲线的离心率为e，则e+

4

5

=

14

5

，
∴e=2，即

c

a

=2，而c=4，
∴a=2，b=2

3

．
∴双曲线方程为：

x2

4

-

y2

12

=1；
（2）∵双曲线方程为：

x2

4

-

y2

12

=1，
∴其渐近线方程为y=±

2 3

2

x，
即y=

3

x或y=-

3

x．

点评：本题考查双曲线的标准方程与双曲线的简单性质，掌握双曲线的方程与性质是解决问题的基础，也是关键，属于基础题．