题目内容

已知an=
∫n0
(2x+1)dx，数列{
1
an
}的前n项和为Sn，数列{bn}的通项公式为bn=n-8，则bnSn的最小值为______．
an=
∫n0
（2x+1）dx=（x2+x）
|n0
=n2+n
∴
1
an
=
1
n2+n
=
1
n
-
1
n+1

∴数列{
1
an
}的前n项和为Sn=
1
a1
+
1
a2
+…+
1
an
=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1

又bn=n-8，n∈N*，
则bnSn=
n
n+1
×（n-8）=n+1+
9
n+1
-10≥2
9
-10=-4，等号当且仅当n+1=
9
n+1
，即n=2时成立，
故bnSn的最小值为-4．
故答案为：-4．
练习册系列答案
相关题目
数列{an}的前n项和记为Sn，已知a1=1，n•an+1=（n+2）Sn（n=1，2，3…）．
（1）证明数列{
Snn
}是公比为2的等比数列；
（2）求Sn关于n的表达式．
（3）请猜测是否存在自然数N0，对于所有的n＞N0有Sn＞2007恒成立，并证明．
如果存在常数a使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）若有穷递增数列{bn}是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求证：数列{bn}的前n项和Sn=
n2
•a；
（3）已知有穷等差数列{cn}的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，试判断数列{cn}是否是“兑换数列”？如果是的，给予证明，并用n0和B表示它的“兑换系数”；如果不是，说明理由．
已知数列an满足an+1=|an-1|（n∈N*），（1）若a1=
54
，求an；
（2）是否存在a1，n0（a1∈R，n0∈N*），使当n≥n0（n∈N*）时，an恒为常数．若存在求a1，n0，否则说明理由；
（3）若a1=a∈（k，k+1），（k∈N*），求an的前3k项的和S3k（用k，a表示）
如果存在常数a使得数列{an}满足：若x是数列{an}中的一项，则a-x也是数列{an}中的一项，称数列{an}为“兑换数列”，常数a是它的“兑换系数”．
（1）若数列：1，2，4，m（m＞4）是“兑换系数”为a的“兑换数列”，求m和a的值；
（2）已知有穷等差数列bn的项数是n0（n0≥3），所有项之和是B，求证：数列bn是“兑换数列”，并用n0和B表示它的“兑换系数”；
（3）对于一个不少于3项，且各项皆为正整数的递增数列{cn}，是否有可能它既是等比数列，又是“兑换数列”？给出你的结论并说明理由．
已知Sn为数列{an}的前n项和，
a
=（Sn，1），
b
=（-1，2an+2n+1），
a
⊥
b
．
（1）证明：数列{
an
2n
}为等差数列；
（2）若bn=
n-2011
n+1
an，且存在n0，对于任意的k（k∈N+），不等式bk≤bn0成立，求n0的值．

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