题目内容
已知Sn为数列{an}的前n项和，
=（Sn，1），
=（-1，2an+2n+1），
⊥
．
（1）证明：数列{
}为等差数列；
（2）若bn=
an，且存在n0，对于任意的k（k∈N+），不等式bk≤bn0成立，求n0的值．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）证明：数列{
| an |
| 2n |
（2）若bn=
| n-2011 |
| n+1 |
分析：（1）利用向量的数量积公式得到数列递推式，再写一式，两式相减，即可证得结论；
（2）先求出数列的通项，利用bn+1≥bn，确定n的范围，由此可得结论．
（2）先求出数列的通项，利用bn+1≥bn，确定n的范围，由此可得结论．
解答：（1）证明：∵
=（Sn，1），
=（-1，2an+2n+1），
⊥
．
∴-Sn+2an+2n+1=0
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
两式相减可得an+1=2an-2n+1，∴
=
-1
∴
-
=-1
∴数列{
}为等差数列；
（2）解：∵n=1时，-S1+2a1+21+1=0，∴a1=-4，∴
=-2
∴
=-2-（n-1）=-（n+1），
∴bn=
an=（2011-n）×2n，
令bn+1≥bn，则（2010-n）×2n+1≥（2011-n）×2n，∴n≤2009
∴当1≤n＜2009时，bn+1＞bn，当n=2009时，bn=bn+1
当n＞2009时，bn+1＜bn∴b1＜b2＜…＜b2009=b2010＞b2011＞…
∴n0=2009或2010．
| a |
| b |
| a |
| b |
∴-Sn+2an+2n+1=0
∴-Sn+1+2an+1+2n+2=0
两式相减可得an+1=2an-2n+1，∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
∴
| an+1 |
| 2n+1 |
| an |
| 2n |
∴数列{
| an |
| 2n |
（2）解：∵n=1时，-S1+2a1+21+1=0，∴a1=-4，∴
| a1 |
| 2 |
∴
| an |
| 2n |
∴bn=
| n-2011 |
| n+1 |
令bn+1≥bn，则（2010-n）×2n+1≥（2011-n）×2n，∴n≤2009
∴当1≤n＜2009时，bn+1＞bn，当n=2009时，bn=bn+1
当n＞2009时，bn+1＜bn∴b1＜b2＜…＜b2009=b2010＞b2011＞…
∴n0=2009或2010．
点评：本题考查向量的数量积，考查数列递推式，考查等差数列的证明．考查数列的通项，正确求通项是关键．
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