Question

数列{a_n}的前n项和记为S_n，已知a₁=1，n•a_n+1=（n+2）S_n（n=1，2，3…）．
（1）证明数列{

Sn

n

}是公比为2的等比数列；
（2）求S_n关于n的表达式．
（3）请猜测是否存在自然数N₀，对于所有的n＞N₀有S_n＞2007恒成立，并证明．

Answer 1

分析：（1）把n•a_n+1=（n+2）S_n代入a_n+1=S_n+1-S_n中化简整理得

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

．进而可推断数列{

Sn

n

}是公比为2的等比数列．
（2）根据又

S1

1

求的首项，进而根据等比数列的通项公式求的数列{

Sn

n

}的通项公式，进而求的S_n关于n的表达式．
（3）把（2）中求的S_n关于n的表达式代入

Sn+1

Sn

中，结果大于1，进而可判断{S_n}为递增数列，进而可知存在N₀=8，对所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立．

解答：解：（1）证明：∵a_n+1=S_n+1-S_n，
由已知a_n+1=

n+2

n

S_n，∴

n+2

n

S_n=S_n+1-S_n，
（n+2）S_n=nS_n+1-nS_n，2（n+1）S_n=nS_n+1，

Sn+1

n+1

=2

Sn

n

．又

S1

1

=

a1

1

=1，
∴{

Sn

n

}是以1为首项，2为公比的等比数列
（2）∵

Sn

n

=1•2^n-1=2^n-1，∴S_n=n•2^n-1．
（3）猜测：存在N₀=8，当n＞8时有S_n＞2007恒成立
∵

Sn+1

Sn

=

(n+1)•2n

n•2n-1

=

2(n+1)

n

＞1，
∴{S_n}为递增数列，
∴存在N₀=8，对所有n＞N₀有S_n＞2007恒成立

点评：本题主要考查了等比关系的确定和数列与不等式问题的综合考查．数列与函数、不等式、对数等问题的综合考查是近几年高考的热点问题．