Question

已知函数f（x）=e^x+ae^-x（a∈R）是偶函数．
（1）求a的值；
（2）求不等式f(x)＞e+

1

e

的解集．

Answer 1

分析：（1）根据偶函数性质有f（-1）=f（1），由此即可求得a值；
（2）不等式f(x)＞e+

1

e

可整理为e•e^2x-（e²+1）•e^x+e＞0，由此可得e^x的范围，进而可求得x的范围．

解答：解：（1）因为f（x）为偶函数，
所以有f（-1）=f（1），即e^-1+ae=e+ae^-1，整理，得（a-1）（e-e^-1）=0，解得a=1，
所以a=1；
（2）f(x)＞e+

1

e

，即e^x+e^-x＞e+

1

e

，整理得e•e^2x-（e²+1）•e^x+e＞0，
所以e^x＞e或e^x＜

1

e

，解得x＞1或x＜-1．
故不等式的解集为{x|x＞1或x＜-1}．

点评：本题考查偶函数的性质及指数型不等式的求解，由函数奇偶性求参数值可采用特值法，如本题，关于指数型不等式求解，常用方法为：或者换元，或者化为同底利用单调性解决．