Question

已知△ABC的顶点A（0，2），AC边上的高线BD所在直线的方程为x-2y+2=0，∠ABC的角平分线所在的直线方程为y=0．求：
（I）直线AC的方程；
（Ⅱ）点C到直线AB的距离．

Answer 1

分析：（1）根据垂直的两条直线斜率的关系，算出AC的斜率k_AC=

-1

kBD

=-2，结合直线方程的点斜率式列式，即可得到直线AC方程；
（2）由对称的知识得A关于y=0的对称点E（0，-2）在直线BC上，算出BC方程为y=-x-2．将直线AC、BC方程联解得到C的坐标，结合直线AB方程为x-y+2=0利用点到直线的距离公式加以计算，即可得到点C到直线AB的距离．

解答：解：（1）∵AC边上的高BD所在直线的方程为x-2y+2=0，
∴直线AC是经过点A（0，2）与BD垂直的直线，
得k_AC=

-1

kBD

=-2，直线AC方程为y=-2x+2…①；
（2）∵∠ABC的角平分线所在的直线方程为y=0．
∴求得AC与的交点，得B（-2，0）
点A关于y=0的对称点E（0，-2）在直线BC上
∴BC斜率k=

0-(-2)

-2-0

=-1，可得BC方程为y=-x-2…②
联解①②，得C（4，-6）
∵直线AB方程为x-y+2=0
∴点C到直线AB的距离是d=

|4+6+2|

2

=6

2

．

点评：本题给出三角形ABC的高与角平分线，求边所在直线的方程并求点C到BC的距离．着重考查了直线的方程、直线的位置关系和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．