Question

已知

x2

9

+

y2

4

=1，则t=

y

x+6

的取值范围为

 

．

Answer 1

分析：把t=

y

x+6

看成是定点A（-6，0）与椭圆

x2

9

+

y2

4

=1上动点P连线的斜率，且过定点A（-6，0）的直线与椭圆一定有交点，先求出直线与椭圆有交点的特殊情况，即直线与椭圆相切时的t值，其它情况应在两条切线之间，即可求出范围．

解答：解：t=

y

x+6

可以斜率，t=

y

x+6

的取值范围为过定点
A（-6，0）与椭圆相切的两直线斜率之间．
设过定点A（-6，0）的直线方程为y=k（x+6），代入椭圆方程，得，（

1

9

+

k2

4

）x²+3k²x+9k²-1=0
∵y=k（x+6）与椭圆相切，∴△=0．即9k⁴-4（

1

9

+

k2

4

）（9k²-1）=0
解得，k=±

2 3

9

．
当过定点A（-6，0）的直线与椭圆有交点时，可看出斜率在-

2 3

9

到

2 3

9

之间．
故答案为[-

2 3

9

，

2 3

9

]

点评：本题考查了利用t=

y

x+6

的几何意义，以及直线与椭圆切线求法，求t范围做题时应认真分析，找到切入点．