题目内容
（2013•浙江模拟）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知C=2A，cosA=
，b=5，则△ABC的面积为
．
| 3 |
| 4 |
15
| ||
| 4 |
15
| ||
| 4 |
分析：由题意可求得sin2A，sin3A，再利用正弦定理
=
=
可求得c，从而可求得△ABC的面积．
| a |
| sinA |
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
解答：解；∵在△ABC中，C=2A，
∴B=π-A-C=π-3A，
又cos A=
，
∴sinA=
，sin2A=2sinAcosA=
，
sinB=sin（π-3A）=sin3A=3sinA-4sin3A，又b=5，
∴由正弦定理
=
得：
=
，
∴c=
=
=
=
=6，
∴S△ABC=
bcsinA
=
×5×6×
=
．
故答案为：
∴B=π-A-C=π-3A，
又cos A=
| 3 |
| 4 |
∴sinA=
| ||
| 4 |
3
| ||
| 8 |
sinB=sin（π-3A）=sin3A=3sinA-4sin3A，又b=5，
∴由正弦定理
| b |
| sinB |
| c |
| sinC |
| 5 |
| sin3A |
| c |
| sin2A |
∴c=
| 5sin2A |
| sin3A |
| 5×2sinAcosA |
| 3sinA-4sin3A |
| 10cosA |
| 3-4sin2A |
10×
| ||
3-4×
|
∴S△ABC=
| 1 |
| 2 |
=
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
=
15
| ||
| 4 |
故答案为：
15
| ||
| 4 |
点评：本题考查正弦定理，考查二倍角的正弦与三倍角的正弦公式，考查转化分析与运算能力，属于中档题．
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