Question

设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且(2b-

3

c)cosA=

3

acosC．
（1）求角A的大小；
（2）若角B=

π

6

，BC边上的中线AM的长为

7

，求△ABC的面积．

Answer 1

（1）因为(2b-

3

c)cosA=

3

acosC，
所以(2sinB-

3

sinC)cosA=

3

sinAcosC2sinBcosA=

3

sinAcosC+

3

sinCcosA2sinBcosA=

3

sin(A+C)，
则2sinBcosA=

3

sinB，
所以cosA=

3

2

，于是A=

π

6

（2）由（1）知A=B=

π

6

，
所以AC=BC，C=

2π

3

设AC=x，则MC=

1

2

x
又AM=

7

．
在△AMC中由余弦定理得AC²+MC²-2AC•MCcosC=AM²，
即x2+(

x

2

)2-2x•

x

2

•cos120°=(

7

)2，
解得x=2，
故S△ABC=

1

2

x2sin

2π

3

=

3

．