Question

数列{a_n}满足a₁=1，，记数列{a_n²}前n项的和为S_n，若对任意的n∈N^* 恒成立，则正整数t的最小值为（ ）
A．10
B．9
C．8
D．7

Answer 1

【答案】分析：由题干中的等式变形得出数列{}是首项为1，公差为4的等差数列，得出a_n²的通项公式，证明数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，得出数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项，再由，求出正整数得m的最小值．
解答：解：∵，∴，
∴（n∈N^*），
∴{}是首项为1，公差为4的等差数列，
∴=1+4（n-1）=4n-3，∴a_n²=
∵（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）
=（a_n+1²+a_n+2²+…+a_2n+1²）-（a_n+2²+a_n+3²+…+a_2n+3²）
=a_n+1²-a_2n+2²-a_2n+3²
=
=＞0，
∴数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，
数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大项为
S₃-S₁=a₂²+a₃²==，
∵≤，∴m≥
又∵m是正整数，
∴m的最小值为10．
故选A．
点评：本题考查数列与不等式的结合问题，难度之一为结合已知和要求的式子，观察出数列是等差或等比数列；难度之二求数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）的最大值，证数列{S_2n+1-S_n}（n∈N^*）是递减数列，证明方法：（S_2n+1-S_n）-（S_2n+3-S_n+1）＞0．是解题的关键．