Question

设A、B为抛物线y²=2px(p＞0,为常数)上两动点，O为坐标原点，若OA⊥OB，试推断直线AB是否过定点.

Answer 1

解析：设点A（x₁,y₁）、B(x₂,y₂)，则y₁²=2px₁,y₂²=2px₂.

∵OA⊥OB,∴x₁x₂+y₁y₂=0,

从而+y₁y₂=0.

∴y₁y₂≠0.∴y₁y₂=-4p².

又直线AB的方程为y-y₁=(x-x₁),即y-y₁=(x-x₁)=(x-x₁),即

y=-+y₁=+y₁

=(x-2p).

由此可知直线AB过定点(2p,0).