Question

在周长为48的直角三角形MPN中，∠MPN=90°，tanPMN=，求以M、N为焦点，且过点P的双曲线方程．

Answer 1

思路分析：首先应建立适当的坐标系．由于M,N为焦点，所以如图建立直角坐标系，可知双曲线方程为标准方程．由双曲线定义可知|PM|-|PN|=2a，|MN|=2c,所以利用条件确定△MPN的边长是关键．

解：∵△MPN的周长为48，且tanPMN=,

∴设|PN|=3k，|PM|=4k，则|MN|=5k．

    由3k+4k+5k=48，得k=4．∴|PN|=12,|PM|=16,|MN|=20．

    以MN所在直线为x轴，以MN的中点为原点建立直角坐标系.设所求双曲线方程为=1（a＞0,b＞0）．

    由|PM|-|PN|=4，得2a=4,a=2,a²=4．

    由|MN|=20，得2c=20,c=10．

    由b²=c²-a²=96，得所求双曲线方程为=1．

方法归纳 坐标系的选取不同，则曲线的方程不同，但双曲线的形状不会变．解题中，注意合理选取坐标系，这样能使求曲线的方程更简捷．