Question

周长为2的直角三角形的面积的最大值为

3-2

2

．

Answer 1

分析：设直角三角形的两直角边为a、b，斜边为c，因为L=a+b+c，c=

a2+b2

，两次运用均值不等式即可求解．

解答：解：设直角三角形的两直角边分别为a、b，斜边为c，则直角三角形的面积S=

1

2

ab．
由已知，得a+b+c=2，∴a+b+

a2+b2

=2，
∴2=a+b+

a2+b2

≥2

ab

+

2ab

=（2+

2

）

ab

，
∴

ab

≤

2

2+ 2

=2-

2

，∴ab≤（2-

2

）²=6-4

2

，
∴S=

1

2

ab≤3-2

2

，当且仅当a=b=2-

2

时，S取最大值3-2

2

．
故答案为：3-2

2

．

点评：利用均值不等式解决实际问题时，列出有关量的函数关系式或方程式是均值不等式求解或转化的关键．