Question

已知函数是定义在上的奇函数，当时，（为常数）。

(1) 求函数的解析式；

(2) 当时，求在上的最小值，及取得最小值时的，并猜想在上的单调递增区间（不必证明）；

(3) 当时，证明：函数的图象上至少有一个点落在直线上。

  

Answer 1

 解：(1) 时，， 则

∵函数是定义在上的奇函数，即

∴，即 ，                                  3分

又可知 。                                                        4分

∴函数的解析式为 ；                           6分

(2) ，∵，，∴。

∵                         9分

∴，即 ，

。                                          11分

∴猜想在上的单调递增区间为。                           12分

(3) 时，任取，

∵

∴在上单调递增，即，即   14分

∵，∴，，∴，                     16分

且函数的图像是连续的曲线，

∴当时，函数的图象上至少有一个点落在直线上。             18分