题目内容

已知函数 $数学公式$ 是奇函数，f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函数．
（1）求m+n的值；
（2）设 $数学公式$ ，若g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立，求实数a的取值范围．

解：（1）∵g（x）为奇函数，且定义域为R∴g（0）= $\text{[math]}$ =0，解得n=1
∵f（x）=lg（10^x+1）+mx是偶函数．
∴f（-x）=lg（10^-x+1）-mx= $\text{[math]}$ -mx=lg（10^x+1）-x-mx=lg（10^x+1）-（m+1）x
=f（x）=lg（10^x+1）+mx∴m=-（m+1），∴m=- $\text{[math]}$ ∴m+n= $\text{[math]}$

（2）∵ $\text{[math]}$ =lg（10^x+1）
∴h[lg（2a+1）]=lg[10^lg（2a+1）+1]=lg（2a+2）
∵ $\text{[math]}$ =2^x-2^-x
∴g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）＜2^x-2^-x对任意x≥1恒成立
取x₁＞x₂≥1，则g（x₁）-g（x₂）=（ $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ＞0
即当x≥1时，g（x）是增函数，∴g（x）_min=f（1）= $\text{[math]}$
由题意得2a+2＜ $\text{[math]}$ ，2a+1＞0，2a+2＞0，
解得- $\text{[math]}$ ＜a＜5 $\text{[math]}$ -1
即a的取值范围是{a|- $\text{[math]}$ ＜a＜5 $\text{[math]}$ -1}
分析：（1）函数g（x）是奇函数，且在x=0处有意义，得g（0）=0，解得m，f（x）是偶函数利用f（-x）=f（x）解得n，从而得m+n的值．
（2）g（x）＞h[lg（2a+1）]对任意x≥1恒成立即lg（2a+2）小于2^x-2^-x的最小值，利用单调性的定义探讨该函数的单调性即可的其最小值，将恒成立问题转化为函数的最值问题，解不等式组即可的a的范围．
点评：本题考查了函数奇偶性的性质，单调性的判断和证明，在探讨不等式恒成立时注意条件的转化，考虑定义域．是中档题．