Question

在数列{a_n}中，a₁=1，a₂=

1

2

，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

（n≥2，n∈N₊），令b_n=a_na_n+1，则数列{b_n}的前n项和为

n

n+1

．

Answer 1

分析：由等差中项的性质可知，数列{

1

an

}是以1为首项，以d=

1

a2

-

1

a1

=1为公差的等差数列，结合等差数列的通项公式可求

1

an

，进而可求a_n，代入b_n=a_na_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂项求和即可求解

解答：解：∵a₁=1，a₂=

1

2

，

2

an

=

1

an+1

+

1

an-1

∴数列{

1

an

}是以1为首项，以d=

1

a2

-

1

a1

=1为公差的等差数列
∴

1

an

=1+n-1=n
∴an=

1

n

∵b_n=a_na_n+1=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

∴b₁+b₂+…+b_n=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

故答案为：

n

n+1

点评：本题主要考查了等差中项法在等差数列的判断中的应用，等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用