Question

【题目】如图，已知点是椭圆上的任意一点，直线与椭圆交于，两点，直线，的斜率都存在．

（1）若直线过原点，求证：为定值；

（2）若直线不过原点，且，试探究是否为定值．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2），详见解析

【解析】

（1）设，，由椭圆对称性得，把点，的坐标都代入椭圆得到两个方程，再相减，得到两直线斜率乘积的表达式；

（2）设，，，则，由得：，进而得到直线的方程，再与椭圆方程联立，利用韦达定理得到坐标之间的关系，最后整体代入消元，得到为定值.

（1）当过原点时，设，，由椭圆对称性得，

则．

∵，都在椭圆上，∴，，

两式相减得：，即．

故．

（2）设，，，则，∵，

∴，设直线的方程为()，

联立方程组消去，

整理得．

∵在椭圆上，∴，

上式可化为．

∴，，

∴，

，

，

∴

；

．

∴（定值）．