Question

【题目】已知函数.

（1）若在上恒成立，求实数的取值范围；

（2）若函数，求函数的值域.

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析.

【解析】

（1）由参变量分离法得出在上恒成立，构造函数，考查该函数在的单调性，利用单调性得出，于此可得出实数的取值范围；

（2）先得出，换元，将问题转化为求函数在上的值域问题求解，然后分、、三种情况讨论，可得出函数在上的值域，即为函数的值域.

（1）当时，，由得，即，

构造函数，其中，则，

所以，函数在区间上为增函数，则，

由于不等式在上恒成立，所以，，因此，实数的取值范围是；

（2）由题意可得，令，则，其中.

①当时，，该函数的值域为；

②当时，由于二次函数的图象开口向下，对称轴为直线，

此时，函数在上单调递减，所以，，

此时，该函数的值域为；

③当时，由于二次函数的图象开口向上，对称轴为直线，

此时，该函数在上单调递减，在上单调递增，

则，此时，该函数的值域为.

综上所述：当时，函数的值域为；

当时，函数的值域为.