题目内容

已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn满足关系式2Sn=Sn-1-(
1
2
)n-1+2，a1=
1
2
（n≥2，n为正整数）．
（1）令bn=2nan，求证数列{bn}是等差数列，
（2）求数列{an}的通项公式；
（3）对于数列{un}，若存在常数M＞0，对任意的n∈N*，恒有|un+1-un|+|un-un-1|+…|u2-u1|≤M成立，称数列{un}为“差绝对和有界数列”，证明：数列{an}为“差绝对和有界数列”．
分析：（1）整理题设递推式得Sn=-an-(
1
2
)n-1+2进而表示出Sn+1，进而根据an+1=Sn+1-Sn，求得an+1和an的递推式，整理得2n+1an+1=2n•an+1，进而根据bn=2nan，求得bn+1-bn=1，进而根据等差数列的定义判断出数列为等差数列．
（2）根据（1）中数列{bn}的首项和公差，求得数列的通项公式，进而根据bn=2nan求得an．
（3）把an代入|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|中，利用利用错位想减法求得sn-
1
2
sn＜
1
4
，进而判断出以Sn≤
1
2
恒成立，根据“差绝对和有界数列”的定义，证明出数列{an}为“差绝对和有界数列”．
解答：解：（1）当n≥2时，Sn=-an-(
1
2
)n-1+2，
Sn+1=-an+1-(
1
2
)n+2
所以an+1=-an+1+an+(
1
2
)n，
即2an+1=an+(
1
2
)n，
所以2n+1an+1=2n•an+1
即bn+1-bn=1，（n≥2），又b2-b1=22•2×a1=1
所以，bn+1-bn=1，n∈N+即{bn}为等差数列
（2）b1=2×a1=1 ，   bn=1+(n-1)=n，   an=
n
2n

（3）由于|an+1-an|+|an-an-1|+…+|a2-a1|=
n-1
2n+1
+
n-2
2n
+…+
0
22

sn-
1
2
sn＜
1
4

所以Sn≤
1
2
恒成立，
即[an]为“差绝对和有界数列”．
点评：本题主要考查了数列的递推式．考查了学生综合分析问题和创造性思维的能力．
练习册系列答案
相关题目
已知Sn是数列{an}的前n项和，an＞0，Sn=
a
2
n
+an
2
，n∈N*，
（Ⅰ）求Sn；
（Ⅱ）若数列{bn}满足b1=2，bn+1=2an+bn，求bn．
（文科题）
（1）在等比数列{an }中，a5=162，公比q=3，前n项和Sn=242，求首项a1和项数n的值．
（2）已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=2n，求an．
已知Sn是数列{an}的前n项和，且有Sn=n2+n，则数列{an}的通项an=
2n
2n
．
已知Sn是数列{an}的前n项和，Sn=2n-1，则a10=（　　）
（2009•崇明县一模）已知Sn是数列{an}前n项和，a1=1，an+1=an+2（n∈N*），则
lim
n→∞
nan
Sn
=
2
2
．

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