Question

如图：△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，将△ABC沿它的垂直方向平移至△A₁B₁C₁，且AB=AA₁=4，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求直线AF与平面AB₁E所成角的大小．

Answer 1

分析：（1）取AB的中点M，连接MD，CD，由MD是△ABB₁的中位线，知MD∥BB1，MD=

1

2

BB1，由EC∥BB1，EC=

1

2

BB1，知四边形CEDM是平行四边形，由此能证明DE∥平面ABC．
（2）建立空间直角坐标系A-xyz，可求得平面AEB₁的一法向量

n

为（2，1，-2），又

AF

=(2，2，0)由此能求出直线AF与平面AEB₁所成角．

解答：（1）证明：取AB的中点M，连接MD，CD，
∵MD是△ABB₁的中位线，
∴MD∥BB1，MD=

1

2

BB1，
又∵EC∥BB1，EC=

1

2

BB1，
∴MD∥ED，MD=ED，
∴四边形CEDM是平行四边形，
∴DE∥CMDE?平面ABCCM?平面ABC，
∴DE∥平面ABC．…（5分）
（2）解：建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz，
∵AB=AA₁=4，D、E、F分别为B₁A、C₁C、BC的中点．
∴A（0，0，0），E（0，4，2），B₁（4，0，4），
∴

AE

=(0，4，2)，

AB1

=(4，0，4)，
设面AEB₁的一法向量

n

=（x，y，z），
∵

n

•

AE

=0，

n

•

AB1

=0，
∴

4y+2z=0 4x+4z=0

，
∴

n

=（2，1，-2）
又

AF

=(2，2，0)，
∴sinθ=

| AF • n |

| AF |•| n |

=

6

2 2 •3

=

2

2

，
所以直线AF与平面AEB₁所成角为

π

4

．…（10分）

点评：本题考查直线和平面平行的证明和直线与平面所成角的求法．解题时要认真审题，注意合理地把立体问题转化为平面问题，注意向量法的合理运用．