题目内容

某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f（t）与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型： $数学公式$ ，其中， $数学公式$ 代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且 $数学公式$ ．
（1）求g（t）的值域；
（2）求f（t）的最大值M（a）的表达式；
（3）若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由．

解：（1）因为0≤t≤24，
得到 $\text{[math]}$ |t-18|∈[ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]，
根据正弦函数的性质得到g（t）的值域为[0， $\text{[math]}$ ]；
（2）由（1）可知g（t）的值域为[0 $\text{[math]}$ ]，f（t）的最大值M（a），
当a∈[0， $\text{[math]}$ ]时，M（a）=| $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ -a|+2a=a+ $\text{[math]}$ ；
当a∈（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]时，M（a）=| $\text{[math]}$ -a|+2a=3a- $\text{[math]}$ ．
则有M（a）= $\text{[math]}$ ；
（3）当 $\text{[math]}$ 时，M（a）= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ＜2；
当 $\text{[math]}$ 时，M（a）= $\text{[math]}$ ≤ $\text{[math]}$ ．
所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标．
分析：（1）先根据t的范围求出|t-18|的范围，进而求出 $\text{[math]}$ |t-18|的范围，然后结合三角函数的性质求出g（t）的值域；
（2）由题意先求出f（t）的解析式，然后在区间[0， $\text{[math]}$ ]和（ $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ]上讨论绝对值的取值得到M（a）的解析式为分段函数；
（3）利用（2）的结论，分 $\text{[math]}$ 时和 $\text{[math]}$ 时分别讨论M（a）的最值与2的关系即可．
点评：本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．