题目内容
某市环保部门通过研究多年来该地区的大气污染状况后，建立了一个预测该市一天中的大气污染指标f（t）与时间t（单位：小时）之间的关系的函数模型：f(t)=|g(t)+| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 24 |
| 3 |
| 4 |
（1）求g（t）的值域；
（2）求f（t）的最大值M（a）的表达式；
（3）若该市政府要求每天的大气环境综合指数不得超过2.0，试问：若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数是否会超标？请说明理由．
分析：（1）先根据t的范围求出|t-18|的范围，进而求出
|t-18|的范围，然后结合三角函数的性质求出g（t）的值域；
（2）由题意先求出f（t）的解析式，然后在区间[0，
]和（
，
]上讨论绝对值的取值得到M（a）的解析式为分段函数；
（3）利用（2）的结论，分a∈[0，
]时和a∈(
，
]时分别讨论M（a）的最值与2的关系即可．
| π |
| 24 |
（2）由题意先求出f（t）的解析式，然后在区间[0，
| 7 |
| 12 |
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
（3）利用（2）的结论，分a∈[0，
| 7 |
| 12 |
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
解答：解：（1）因为0≤t≤24，
得到
|t-18|∈[
，
]，
根据正弦函数的性质得到g（t）的值域为[0，
]；
（2）由（1）可知g（t）的值域为[0
]，f（t）的最大值M（a），
当a∈[0，
]时，M（a）=|
+
-a|+2a=a+
；
当a∈（
，
]时，M（a）=|
-a|+2a=3a-
．
则有M（a）=
；
（3）当a∈[0，
]时，M（a）=a+
≤
+
=
＜2；
当a∈(
，
]时，M（a）=3a-
≤
-
=
＜2．
所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标．
得到
| π |
| 24 |
| π |
| 3 |
| 3π |
| 4 |
根据正弦函数的性质得到g（t）的值域为[0，
| 1 |
| 2 |
（2）由（1）可知g（t）的值域为[0
| 1 |
| 2 |
当a∈[0，
| 7 |
| 12 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 5 |
| 6 |
当a∈（
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| 3 |
则有M（a）=
|
（3）当a∈[0，
| 7 |
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 7 |
| 12 |
| 5 |
| 6 |
| 17 |
| 12 |
当a∈(
| 7 |
| 12 |
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 9 |
| 4 |
| 1 |
| 3 |
| 23 |
| 12 |
所以若按给定的函数模型预测，该市目前的大气环境综合指数不会超标．
点评：本题考查利用函数知识解决应用题的有关知识．新高考中的重要的理念就是把数学知识运用到实际生活中，如何建模是解决这类问题的关键．同时要熟练地利用导数的知识解决函数的求最值问题．
练习册系列答案
中考解读考点精练系列答案
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，其中，
代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且
．
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代表大气中某类随时间t变化的典型污染物质的含量；参数a代表某个已测定的环境气象指标，且
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