Question

已知函数定义在上，对任意的，，且.
（1）求，并证明：；
（2）若单调，且.设向量，对任意，恒成立，求实数的取值范围.

Answer 1

（1） （2）

解析试题分析：（1）借助于特殊值得，然后把变形
= 即可，（2） 首先判断出函数是增函数，然后找出，代入整理的，最后用分类讨论的思想方法求出即可.
（1）令得，又∵，，      2分
由得=，
∵，∴.                                  5分
（2） ∵，且是单调函数，∴是增函数.       6分
而，∴由，得，
又∵因为是增函数，∴恒成立，.
即.                                        8分
令，得    (﹡).
∵，∴，即.
令，              10分
①当，即时，只需，(﹡)成立，
∴，解得；                               11分
②当，即时，只需，(﹡)成立，
∴，解得，∴.              12分
③当，即时，只需，(﹡)成立，
∴，  ∴，                                    13分
综上，.                                              14分
考点：抽象函数；函数的单调性；向量的数量积公式；不等式恒成立的问题；分类讨论的思想方法.