Question

求适合下列条件的曲线的标准方程：
（1）a=3b，经过点M（3，0）的椭圆；
（2）a=2

5

，经过点N（2，-5），焦点在y轴上的双曲线．

Answer 1

分析：（1）根据椭圆的焦点位置进行讨论，结合题意分别求出椭圆的a、b之值，即可得到所求椭圆的标准方程；
（2）设双曲线的方程为

y2

20

-

x

b2

2=1，将N点坐标代入建立关于b的方程，解出b²=16，即可得到所求双曲线的标准方程．

解答：解：（1）∵椭圆经过点M（3，0），
∴当椭圆焦点在x轴上时，a=3b=3，得b=1，此时椭圆的标准方程为

x2

9

+y2=1；
当椭圆焦点在y轴上时，b=3，a=3b=9，此时椭圆的标准方程为

x2

9

+

y2

81

=1．
综上所述，所求椭圆的方程为

x2

9

+y2=1或

x2

9

+

y2

81

=1．
（2）∵双曲线的焦点在y轴上，a=2

5

，
∴设双曲线的方程为

y2

(2 5 )2

-

x2

b2

=1（b＞0），即

y2

20

-

x

b2

2=1（b＞0），
∵点N（2，-5）在双曲线上，
∴

(-5)2

20

-

2

b2

2=1，解之得b²=16，
因此，所求双曲线的方程为

y2

20

-

x

16

2=1．

点评：本题给出椭圆、双曲线满足的条件，求它们的标准方程．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．